El problema de la cebra y el cocodrilo – explicación gráfica

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Veo que la aproximación de por qué calculé basado en trigonometría, está generando polémica, así que voy a intentar explicarme un poco mejor… (Perdonad que no haya encontrado una regla).

Del enunciado sacamos que al cocodrilo le cuesta 5 décimas de segundo avanzar un metro en agua, y que le cuesta 4 décimas de segundo avanzarlo en tierra. (las 4 décimas por metro son evidentes en la parte derecha de la fórmula, y siendo lo de la izquierda de la fórmula una hipotenusa, tenemos 5 décimas de segundo por metro recorrido en el agua, que no metro avanzado horizontalmente).

Es evidente que ambas fórmulas encajan perfectamente con el planteamiento, y no hay nada que las haga incompatibles con un desplazamiento lineal uniforme. Eso no es inventar datos, sino aplicar sentido común.

La pregunta sería ¿Cómo invertir la menor cantidad de segundos?

A mi me pareció evidente (intuición) que nunca podría sacarle a 5 segundos en el agua, más rendimiento que a 4 segundos en tierra, y por ende, de 1 segundo en el agua, más rendimiento que a 0,8 segundos en tierra.

De ahí el triángulo rectángulo de lados 0,8 y 1 en rojo.MWSnap044 2015-10-20, 21_35_18Si el ángulo es mayor (ejemplo, la línea a boli discontínua), empleamos más tiempo para llegar al mismo punto. Ese tiempo se va reduciendo según el ángulo se acerca a alfa, hasta convertirse en la hipotenusa.

A partir de ahí, si seguimos reduciendo por debajo de alfa, entramos en lo que yo diría “a estas alturas estabas ya mejor en la orilla”. Aquí (está mal trazado, es un poco más a la derecha, cuando hipotenusa mide 5 a lápiz), el tiempo se va incrementando en el valor de la diferencia entre entre la hipotenusa (agua) y el cateto horizontal (tierra), que siempre será más corto.

Que este triángulo (tiempo) y el del resultado (metros) son semejantes, también me pareció evidente (intuición). El ángulo en el que tengo que nadar para que me cueste el menor tiempo es el ángulo que tengo que nadar.

En esta representación hago coincidir el ancho del río con el largo del cateto que nos falta, para así (por ser semejantes los triángulos) poder equipararlo fácilmente con el que trazamos en el río.

Una vez llegados aquí, este cateto resulta medir 0,6 (por Pitágoras, gracias Alm) que, junto con el dato que sí conocemos del ancho del río (6m) nos hace llegar a la relación 10m por cada u.m. del triángulo de hipotenusa 1u.m.

La orilla la pongo ahí (al final del cateto vertical) porque resulta más limpio y cómodo, pero vamos, que se puede poner donde se quiera, porque no dejarán de salir triángulos semejantes a los de lados 5 (ó 1), 4 (ó 0,8) y 3 (ó 0,6) con idéntica demostración visual de por qué el tiempo invertido será menor según nos acerquemos a alfa, que es donde está el resultado óptimo.

Actualización: Esta demostración gráfica es incorrecta. Ver el Teorema del cocodrilo.

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7 Responses to El problema de la cebra y el cocodrilo – explicación gráfica

  1. Abraham Benyosef says:

    Estoy de acuerdo en que no estás inventando datos, y en que los valores que postulás para las velocidades son razonables.

    Pero a mí no me resulta para nada evidente que por la línea discontinua se tarde más que yendo todo en diagonal por el agua. Es cierto que el camino se vuelve más largo, pero a cambio (1) voy a aprovechar mejor mi velocidad acuática, porque la distancia que voy a tener que nadar es menor; y (2) el camino adicional lo voy a recorrer en tierra, donde mi velocidad es mayor. Cuando uno hace las cuentas para un número concreto resulta que no, que se tarda más por el camino quebrado que por el directo. Pero esto a priori no hay manera de saberlo. ¿O me estoy perdiendo de algo?

    • motion says:

      El truco estaría en que lo que representa el triángulo no son distancias, sino tiempos (aunque al final es lo mismo), y que como siempre hay que recorrer la misma distancia vertical en el dibujo (ancho del río), las líneas trazadas son el tiempo invertido. A partir de ahí, quedaría claro que la mejor distancia es la línea recta.

      Se podría decir que nos hemos abstraído de dónde anda la cebra, y del ancho del río, y que únicamente nos hemos quedado con las relaciones de velocidad lineal entre el agua y la tierra. El único ángulo que consigue el máximo aprovechamiento en el agua es cuando ambas trayectorias forman un triángulo rectángulo al cabo del mismo tiempo.
      Cualquier ángulo mayor optimiza el tiempo en el agua pero nos obliga a andar más, y cualquier ángulo menor saca peor provecho del recorrido por nadar demasiado.

      • Abraham Benyosef says:

        Todavía no veo clara la conexión que te resulta tan obvia entre los triángulos de distancias y tiempos. Más aún, considerando tu dibujo de los tiempos, lo que te resulta evidente lo es solamente si está mal dibujado. Si se dibuja bien (con el arco de circunferencia azul discontinuo en mi dibujo), habría que probar que la línea naranja es menor que la suma de las dos líneas verdes, lo cual parece lógico, pero no es “evidente”, como sí lo sería si las tres líneas formaran parte de un triángulo.

      • Abraham Benyosef says:

        No sé cómo introducir mi dibujo aquí. Está en:

        https://flic.kr/p/z7wp3X

        • motion says:

          Muchas gracias!
          Efectivamente el triangulo de la derecha de mi dibujo está mal ubicado (lo indiqué en el post). Si no te importa copiare tu imagen en el artículo, junto con una explicación a lo que comentas. Esta vez sí, cuando tenga tiempo…. 😉
          Gracias!

  2. motion says:

    Hola Abraham, he dejado un nuevo post en el que creo que ahora si queda todo explicado.
    Efectivamente no era tan evidente. Sigo sin saber por que lo vi tan claro en su momento. De hecho, el grafico de este post tiene mas sentido con la explicacion del teorema (la hipotenusa del triangulo de la drecha seria lo acanzado en tierra contra lo avanzado en agua tal como esta dibujado), pero cuando lo dibuje estaba pensando en otra explicacion.
    Lo dicho, el razonamiento en todos los posts era el mismo, pero no tenia una forma de explicarlo. Ahora por fin si.. 🙂

  3. Silvia says:

    Muchas gracias por sus veddeos, me han seivdro demasiado. Ahora me encuentro en vacaciones y estoy repasando lo que no habeda entendido en clases y la verdad es que ahora lo encuentro muy sencillo. Mil gracias nuevamente por su ayuda.

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