El problema de la cebra y el cocodrilo – made easy.

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Acabo de ver el problema de la cebra y el cocodrilo, y me ha recordado a un examen de física de hace muchos (muchos) años… No el problema en si, sino el modo de resolverlo cuando no sabes resolverlo ‘tal como se espera’. En aquel momento no me sabía ‘las fórmulas’ y tuve que tirar de imaginación y trigonometría elemental, exactamente igual que hoy…

Dándole vueltas he encontrado la misma solución que aparece en el vídeo con un método más sencillo de resolver, basado en trigonometría.

Actualización: Igual al final no era ‘such easy’, pero el ‘teorema’ que justifica los cálculos de este post lo podréis encontrar en ‘el teorema del cocodrilo’

Problema:

cebra-cocodriloUn cocodrilo quiere dar caza a una cebra. Es más rápido en tierra firme que en el agua, así que hay que encontrar la distancia x que ha de recorrer para optimizar su recorrido teniendo en cuenta la fórmula y el dibujo.

Hay que tener en cuenta que si minimizas el tiempo en el agua (vas por los catetos), recorres 20 metros a la máxima velocidad, pero también haces la máxima distancia posible.

Si lo haces todo por el agua, recorres la minima distancia, pero a menor velocidad.

Nos quedamos con que la parte izquierda de la fórmula tiene toda la pinta de ser el cálculo de la hipotenusa (velocidad en el agua), y la de la derecha la del desplazamiento por tierra.

Veremos que:

  • La distancia a tierra es entonces de 6m (36 = 6^2)
  • La velocidad del cocodrilo en agua es de 0,5 s por metro (metro avanzado en tierra agua (ver comentarios))
  • La velocidad del cocodrilo en tierra es de 0,4 segundos por metro
  • La proporción entre la velocidad tierra/agua es de 0,4s/0,5s = 0,8s (tierra) /1s (agua)

Con esto tenemos un triángulo de tiempos en el que conocemos dos lados: la hipotenusa (1s) y el cateto que iría por tierra (0,8 s), y tendremos que calcular  uno de los ángulos ángulos para conocer el otro lado.

Aplicando el ‘teorema del cocodrilo’ , tendríamos que encontrar el ángulo que nos diera el coseno (la horizontal) con esta proporción de 0,8 del cateto que ya conocemos. En el agua esta es la mejor proporción comparada con la velocidad en tierra que podemos alcanzar, así que es la que buscamos.

Buscamos el arco cuyo coseno nos da esta proporción de 0,8 = 36,86º  <— Ese es el ángulo en el que nadará el cocodrilo con respecto a la paralela.

Bueno, pues el cocodrilo ya tendría el problema resuelto. Ese es el ángulo en el que tendría que nadar, pero como nos piden ‘x’, la tendremos que calcular.

En el triángulo rectángulo de distancias que buscamos, el cateto opuesto al ángulo que hemos elegido debe medir 6 metros según hemos visto arriba.

En nuestro triángulo de tiempos, ese lado mide 0,6 (Sen 36,86º  =  0,6)

Como los triángulos son proporcionales, y nuestro cateto en el triángulo de distancias debe medir 6 metros, tenemos una relación de 0,6 a 6, de modo que en el triángulo de distancias los valores son 10 veces mayores.

El radio (longitud nadada) será entonces 1 x 10 = 10 metros.

Y la distancia equivalente terrestre (el otro cateto) será la proporción quee hemos calculado antes (0,8) mutiplicada por este factor 10

8 metros

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Nota: La última captura es la resolución en guarro antes de escribir el post. las x que aparecen no son las x del problema, el 8 de arriba es la horizontal y no la hipotenusa, y… bueno, eso, que son notas sucias pero yo me entiendo.

Actualización (16/10/2015): He intentado aclarar un poco mejor de dónde salen el triángulo de tiempos y el de distancias, que tienen los mismos ángulos y que por tanto en los cálculos son proporcionales.

Actualización (20/10/2015): Intento de explicación gráfica (El API de Kodi tendrá que esperar 😉 )

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56 Responses to El problema de la cebra y el cocodrilo – made easy.

  1. viti says:

    Que forma de complicarse e inventar datos que no dan. Hay que trabajar con lo que se tiene.

    1ºSi el cocodrilo no viaja en tierra, es que va nadando todo el tiempo, por lo tanto x=20, lo que conlleva que t(20)= 10’4 segundos(o milesimas de segundas si nos ceñimos a las unidades que piden)
    2ºLa distancia mas corta nadada se da cuando x=0, por lo tanto t(0)= 110 segundos. En este punto ya tenemos 2 tercios del problema resuelto.

    3º Derivas, igualas a 0 y calculas, y no, no me acuerdo de derivar despues de 10 años.

    • motion says:

      Yo tampoco me acuerdo de derivar, por eso busqué una forma de resolverlo que sí supiera aplicar.
      De trabajar con lo que se tiene se trata, no hay ningún dato inventado.

    • josito says:

      pero los dos tercios que has resuelto cuentan un quinto de la nota: en términos escoceses resultas ‘muy deficiente’…

      • motion says:

        Este post sólo responde la tercera pregunta, que vale 8 de los 10 puntos.
        Las otras dos son evidentes, resolviendo con x=0 y con x=20.

  2. luis says:

    Seguro que la velocidad que calculaste esta bien?

    • motion says:

      Tienes razón. Está mal (lo corrijo). Los 0,5s por metro son avanzados en agua, no en tierra.
      Esto nos da un triángulo de tiempos de lados 0.8 y 1, del que sacamos el otro cateto que nos faltaba.

  3. alm says:

    Hay algunas imprecisiones. Por ejemplo, no es la proporción velocidad tierra/agua, sino al revés: velocidad agua/tierra:
    v (agua) = 2 m/s ; v (tierra) = 2,5 m/s. Entonces:
    v (agua) / v (tierra) = 2/2,5 = 0,8 (y no tiene unidades por ser una razón).

    Tampoco hacen falta arcocosenos: con el teorema de Pitágoras se resuelve el cateto desconocido: 0,8^2 + c^2 = 1^2. Entonces c = 0,6

    De todas formas, el mayor problema lo veo en que no se justifica en absoluto que la razón entre x (desplazamiento horizontal mientras el cocodrilo nada) y la distancia que realmente nada (en oblicuo) sea igual a la razón antes calculada, es decir, 0,8.

    Para justificarlo habría que probar que x / raíz (x^2 + 36) = v (agua) / v (tierra). Esta ecuación es correcta, pero creo que sólo se puede demostrar usando derivadas.

    Conclusión: El problema se ha resuelto satisfactoriamente gracias a una magnífica intuición.

    • motion says:

      Totalmente de acuerdo, especialmente con la precisión/corrección de términos tierra/agua o viceversa.
      Cuando añado ‘s’ a 0,8 es únicamente donde indico 0,8 s por cada 1 s, y en ese caso sí tiene sentido usar la unidad. Después no la utilizo. (Aunque sigo reconociendo que la forma de describir el artículo en general dista de ser estricta 🙂 ).
      La ‘justificación’ la visualizé imaginando dos barras unidas por un punto. Una mide 1 y la otra 0,8, y representan el movimiento por el agua y la tierra. De alguna forma me pareció que tiene sentido que esta proporción fuera la que más rendimiento da cuando están en un ángulo que cerraría un triángulo rectángulo, y que este sería a su vez semejante al que define x y la distancia recorrida en el agua. Probablemente tengas razón en que sea pura intuición. Necesitaría tener tiempo para intentar demostrar por qué (en su momento me pareció impepinable, pero es cierto que no estaba basado en ningún cálculo)

      ¡Gracias por tu comentario!

      • alm says:

        Sin duda es una intuición genial, porque de los infinitos números reales que existen, que pensaras en justamente esa razón, y no, por ejemplo, en el inverso de la media de las velocidades tiene mucho mérito. ¡Felicidades!

        Otra pega que veo no es a tu resolución, sino al enunciado del problema y eso es demérito de los escoceses: lo lógico es que el depredador camine primero por su orilla y luego se meta en el agua directo a por la cebra para atacar sin ser visto.

        Planteado así es totalmente equivalente al de los escoceses, pero mucho más realista con la naturaleza y da más oportunidades al cocodrilo de tener éxito.

        Saludos.

  4. Hector says:

    si va por agua, X=20, de la ecuacion resulta T = 5 * raiz(436) =104,40 decimas de segundo.

    Si va por tierra, X=0, de la ecuación resulta T = 5 * raiz(36) + 4*20 =30 + 80 =110 decimas de segundo

  5. Emilio says:

    Solución con derivada de la función T(x) igualada a cero (mínimo de la función):

    T´(x) = 5/2*2x/raiz(36+x^2)-4=0

    Despejando se obtiene x=8

  6. Anonymous says:

    Que ganas de complicarse, maestro

    • motion says:

      Ya lo decía por ahí arriba… No me acuerdo de cómo se deriva, ni de cómo se resuelve un problema de máximos y mínimos (ahora sí 😉 ), pero sí me acordaba de la trigonometría básica. (Y sinceramente, tampoco me di cuenta de que el cateto que me faltaba lo podía haber sacado con una raíz cuadrada, y eso que tenía la fórmula delante)

  7. Anon says:

    La verdad no he entendido nada de tu razonamiento pero quisiera preguntar si cambiando las variables del problema (36 y 20) tu razonamiento seguiria llevando a la respuesta correcta. Esta seria la mejor forma de diferenciar entre casualidad y buena intuicion

    • motion says:

      Sí, sigue funcionando.

      Tal como comentaba a Alm, no sabría decirte cuál es la razón, pero los triángulos hechos a partir de la proporción de las velocidades y el que recorre el cocodrilo en la mejor aproximación, son semejantes.

      • Anon says:

        Lo he verificado y si, para cualesquiera velocidades o medidas funciona pero no solo eso, sino que si conviertes esa intuicion en una sola formula que resuelva el problema en un solo paso (para cualesquiera velocidades o medidas), la formula que te queda es identica a la que te quedaria si usaras el procedimiento por derivadas.
        Creeria que voy entiendo por que la intuicion es correcta, creo que tiene que ver con el hecho de que la distancia lateral de la presa es irrelevante (la solucion es independiente de esta variable) pero a la vez la velocidad sobre tierra no lo es. Es como que si todo lo que importara es cruzar el rio de forma eficiente y esa eficiencia se midiera teniendo en cuenta la velocidad sobre tierra. Si logro acomodar todo volvere de nuevo por aqui

        • motion says:

          Muchas gracias.
          Muy probablemente, la razón sea que el resultado óptimo se da cuando el tiempo por unidad en tierra (cateto) y el tiempo por unidad en agua (hipotenusa) se dan en un ángulo que corresponde con un triángulo rectángulo. Eso es a lo que necesitaría dar explicación, aunque empíricamente está demostrado que es así.
          Si consigues encontrarle una demostración, te lo agradeceré. 🙂

  8. Sapo says:

    Para q complicarse tanto. Lo resolves en 60 segundos escribiendo la formula en la calculadora y reemplazas la x por 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20.
    Lo graficas y ves que en 8 es el minimo y probas para asegurarte con 7.99 y 8.001 y si los dos son mayores es q 8 es el minimo.
    Y listo.

    • motion says:

      La gracia está en resolverlo tú. El resultado pedido podría haber tenido, perfectamente, 300 decimales.

      Con la propuesta de alm (calcular el cateto que faltaba por Pitágoras), el cálculo más complicado se reducía a calcular la raíz cuadrada de (1-0,64).

    • Alejandro says:

      Sapo:
      No sirve de nada reemplazar del 0 al 20 en la ecuacion provista porque no calcula el minimo para eso hay que derivar o usar otra estrategia.

  9. luis says:

    Igualando la derivada a cero se obtiene el mínimo de la función T que es de 8. Si quieren más detalles se los paso.

  10. Pincha89 says:

    Hola, perdón por esta pregunta pero no logro resolverla. ¿Cómo resolviste las dos partes de la fórmula? (“Nos quedamos con que la parte izquierda de la fórmula tiene toda la pinta de ser el cálculo de la hipotenusa (velocidad en el agua), y la de la derecha la del desplazamiento por tierra”) Es decir, ¿cómo llegaste al resultado de 6 metros para la hipotenusa, luego el desplazamiento por tierra y después las velocidades de cada desplazamiento? De hecho, entendí perfectamente el video pero con este planteo no pude “encajar” el lugar de Pitágoras al inicio de tu resolución. Perdón si es muy boba la pregunta, curiosidad de alguien interesado en estos problemas pero débil para razonarlos jaja.

    Saludos!

    • motion says:

      Los 6 metros del ancho del río están implícitos en la fórmula de la izquierda. Si x es la distancia que recorres en tierra, el otro cateto viene dado por el 36, que es 6 elevado al cuadrado.
      Luego, como comentaba arriba, por algún motivo creí que la proporción de la velocidad en tierra con la velocidad en agua debería formar un triángulo semejante al que hay en el enunciado, de modo que calculando sus lados/ángulos tendríamos el problema resuelto.
      Como la relación entre la velocidad en tierra y en agua es de 4/5 = 0,8 s en tierra por 1 s en agua, ya teníamos dos lados del triángulo y con ellos calculábamos el ángulo (o como dice Alm, también más arriba, por pitágoras sacamos que en este triángulo el cateto que nos falta es 0,6).
      Como los triángulos son semejantes y conocemos uno de sus lados (6m), sólo tenemos que calcular los otros dos (10m y 8m) en la misma proporción (10x).
      Espero que te haya ayudado.
      ¡Gracias!

  11. IngMgs says:

    Hola, pésima respuesta y encima los diarios la citan. Es tal cual como lo dice viti.

    Motion:

    1) Que no sepas derivar no implica que tengas que inventar datos. Además es se puede llevar la ecuación a una forma cuadrática y buscar el vértice, por lo tanto tampoco haría falta.

    2) “Los 6 metros del ancho del río están implícitos en la fórmula de la izquierda. Si x es la distancia que recorres en tierra, el otro cateto viene dado por el 36, que es 6 elevado al cuadrado.” Mas falso imposible. No tenés ninguna información del problema que permita soportar semejante hipotesis. Además de que los resultados dan totalemente distintos.

    3) Antés de poner “made easy” verificar por favor.

    Saludos.

    • motion says:

      1) No invento ningún dato. Si hay algún dato que creas que está inventado, por favor, di cuál.
      2) Los 6 metros de ancho del río son evidentes. Y los resultados son exactos para cualesquiera valores que pongas al tiempo invertido en avanzar 1 metro en agua o tierra.
      3) A mi me pareció más fácil (y aplicando Pitágoras como sugiere Alm, aún más fácil). Ya indico que es una solución alternativa (para mí más fácil porque no recuerdo cómo se resuelve un problema de máximos y mínimos, y tampoco tengo muy frescas las derivadas).

  12. El problema es simple,
    si nada todo el camino, X = 20, reemplazando en la ecuacion resulta 104.4 dec de seg.
    si toma el camino más corto en el agua es perpendicular a su posición actual ergo X=0, reemplazando en la formula resulta 110 dec de seg.
    Finalmente para un valor mínimo de X hay que buscar el punto donde la derivada primera sea nula eso sucede para X = 8, con lo que el tiempo es 98 dec. de seg.
    No sé por qué intentas resolverlo con pitágora…. La ecuacion vincula el tiempo con la distancia x. No hace falta más que eso.

    • motion says:

      Insisto. Porque no me acordaba de cómo derivar, y sí de la trigonometría básica.

  13. Abraham Benyosef says:

    A ver; lo que estás haciendo se llama tautología: demostrás algo usando para ello precisamente lo que tenés que demostrar. La clave está cuando decís:

    “En una circunferencia goniométrica, de radio 1, tendríamos que encontrar el ángulo que nos diera el coseno (la horizontal) con esta proporción de 0,8 del cateto que ya conocemos. En el agua esta es la mejor proporción comparada con la velocidad en tierra que podemos alcanzar, así que es la que buscamos.”

    Y partiendo de esto llegás al resultado correcto.

    Pero es que precisamente en algún momento tendrías que demostrar que esa relación entre recorrido en el agua y la tierra es “la mejor proporción”. Te limitás a decretar que el ángulo tiene que cumplir unas ciertas condiciones y partiendo de eso llegás al resultado. Pero nunca explicaste por qué con esas condiciones el tiempo total era mínimo. Tu croquis a mano alzada tampoco aclara nada al respecto.

    Tu solución no ofrece herramientas generales que pueda aprovechar un estudiante de matemática, por ejemplo. Pero si pudieras explicar tu proceso mental, eso sería muy interesante para los profesores de matemática. Como está, tu solución no resulta útil ni para unos ni para otros.

    • motion says:

      Gracias por tu comentario.

      Intentaré sacar tiempo para buscar una demostración a la hipótesis de que el triángulo rectángulo del tiempo empleado en agua y tierra para recorrer un metro es semejante al del recorrido que hacen.

  14. hugo says:

    7.66

  15. Gustavo says:

    Los coeficientes “5” y “4” de la expresion original para T(x) no son las velocidades sino los inversos de las velocidades.

    • motion says:

      Correcto, es el tiempo en décimas de segundo por cada metro avanzado.
      Ya digo que el post en general no está escrito de una manera muy estricta 🙂 pero lo que nos interesa de esos dos valores es su proporción (0,8 a 1)

  16. Sonia says:

    Yo lo hice por derivadas, pues sé calcular mínimo sólo de ese modo, sin suponer nada.
    Pensando como si no supiera derivar, también supuse que el ancho era 6 y las velocidades 1/5 (agua) y 1/4 (tierra) pues si yo hubiera el hecho el problema escribía T total = T en tierra + T en agua = dist en agua/v en agua + d en tierra /v en tierra. Como va m+as r+apido por tierra (raro, no?) haría un trecho por tierra más largo que el trecho por agua, pero exactamente como saberlo, no pude. Grafiqué la función y vi que el mínimo era 8, comprobable. Pregunto, hay un razonamiento válido para calcular mínimos que nos sea el de la derivada, el de Motion no me convence…

  17. Nicolas says:

    El modo correcto de hacerlo es derivando e igualando a 0, lo cual te da mínimo de la función en x=8 y luego calculando en los extremos se obtiene el otro resultado.
    Si no se sabe derivar lo mas correcto hubiera sido hacer una tabla (se supone que no se cuenta con las herramientas para graficar debidamente) y de ahí se puede obtener un resultado “tentativo” que en este caso hubiera sido justo.

  18. alm says:

    Os estáis rayando, porque como ya dije, motion ha tenido una intuición genial que funciona. Sí, es cierto se pueden poner pegas a su desarrollo, pero la idea principal es brillante y lo mejor de todo, acertada.

    En el fondo todo se reduce a que x / distancia nadada es igual a la velocidad en agua entre velocidad en tierra. Él lo visualiza con un triángulo cuya hipotenusa es la distancia nadada y un cateto es x (desplazamiento horizontal cuando nada). Y este triángulo es de verdad semejante a otro de hipotenusa 1 y el cateto semejante v(agua)/v (tierra).

    Teniendo en cuenta que v (agua) = 1/5 y que v (tierra) = 1/4, de todo lo anterior se deduce que:
    x / raiz(x^2 + 36) = (1/5)/(1/4), es decir, x / raiz(x^2 + 36) = 4/5.

    Y la ecuación anterior se puede probar cierta derivando T(x) e igualando a cero.

    A un lado tenemos el formalismo y las herramientas del cálculo infinitesimal. Pero al otro lado tenemos la intuición.

    Creedme si os digo que las Matemáticas no hubieran progresado sin esas dos facetas: hace falta el formalismo para ser rigurosos y llegar a resultados ciertos, y también para desarrollar procedimientos entendibles por todo el mundo; y hace falta la intuición y la idea genial para abrir nuevos caminos inexplorados.

    • Abraham Benyosef says:

      alm, a diferencia de vos yo no creo que se trate de una simple intuición genial. Por el contrario, creo que motion está usando pensamiento lateral, y lo está usando muy bien; pero lo frustrante es que no sea capaz de expresar sus fundamentos ni con palabras ni con dibujos. Por lo cual, motion te conmino a que YA (no cuando “encuentres tiempo”) te pongas en campaña para explicarte a vos mismo cuál fue tu razonamiento, y una vez que lo tengas en claro nos lo expliques a nosotros.

      Entiendo que el asunto debe pasar por el buen aprovechamiento de las velocidades. Va a convenir siempre por tierra excepto que la distancia se haga demasiado grande, y se empieza a hacer demasiado grande en un punto preciso que es hacia donde debe nadar el cocodrilo. Pero no tengo la más remota idea de por qué el límite está exactamente en ese punto definido por un triángulo proporcional al de las velocidades, y eso es lo que motion nos tiene que aclarar.

  19. Daniel says:

    No se acuerda como derivar, pero le parece mejor conocer el valor de las funciones trigonométricas y sus inversas, lo cual es bastante más torpe en términos del uso de la memoria y la practicidad. Su método no es ni más fácil, ni más práctico, ni requiere menos el uso de la memoria, ni más intuitivo, ni más preciso.

    • motion says:

      Puede ser, pero si me hubiera dado cuenta, ni siquiera hacían falta los valores de las funciones trigonométricas, y habría valido con saber la raíz cuadrada de 0,36, tal como indica Alm más arriba.

  20. Agusti says:

    No entiendo el revuelo causada por este problema. Se tracta de un problema clásico de máximos i mínimos relativos, que los alumnos que desean acceder a una carrera universitaria científica deberían saber resolver. Vamos mal si solo el 1/3 de los que se presentaran a la prueba lograron superarla.
    Otra cuestión es el método que emplean los cocodrilos para capturar a las cebras y que nada tiene que ver con el planteamiento del problema. Los cocodrilos no usan la velocidad, puesto que una cebra es mucho más rápida que ellos en tierra firme. Tampoco tiene sentido emplear un tiempo mínimo para llegar a la posición de la cebra. O es qu pensamos que la cebra es ciega y sorda y no se dará cuenta de la presencia del cocodrilo? Los cocodrilos emplean la paciencia, la estrategia y el trabajo en equipo para capturarla cuando la cebra se mete dentro del agua. Lo podeis ver, en Youtube, en el documental “Ataque de cocodrilos gigantes”, del National Geographic.

  21. Pablo says:

    Yo lo resolví a la manera de Viti, pero no tiene por qué ser sólo esa la forma de resolver el problema, pueden existir otras maneras, y si se llega al mismo resultado, al resultado correcto, entonces no hay necesidad de pelear, ni discutir, ni nada. Si todos hemos llegado por distintos caminos al resultado correcto, entonces hay que valorar el trabajo de los demás, hay que respetar al que lo ha resulto de otra manera.

  22. Anonymous says:

    .

  23. Martin says:

    Uds estan todos de la nuca. El ejercicio no tiene resolución porque las preguntas son todas absurdas. Son preguntas casi como preguntar: cuanto vas a caminar si vas en auto, o cuanto trabajaste mientras dormías. Ademas la formula contiene un resultado absurdo de tiempo debido a que la ecuación contiene solamente sumatoria de distancias y jamas podrá dar como resultado tiempo.

  24. Sebastian says:

    Hay que tener en cuenta que el problema se le presentó a alumnos secundarios, que la mayoria no saben derivar. Es un problema hecho a propósito para incentivar el uso de la observación y el razonamiento. El secreto está en darse cuenta (según los datos del problema) que la parte de la formula que tiene el 20 es la parte que calcula el tiempo por tierra. A partir de ahí se calculan los 2 primeros puntos. Y el tercero con una simple tablita con números del 0 al 20 y calculando el resultado (21 cálculos sencillos) para cada número se saca la distancia que minimiza el tiempo.

  25. Horacio says:

    Lo que no tiene sentido es que haga 0 m por agua, ya está del otro lado del río.

  26. Diego Fuzz says:

    La peor respuesta, la citan en Clarín porque son doblemente ignorantes, peor que el que escribió todos esos datos falsos.

    El problema se resuelve haciendo una derivada, más fácil es imposible, si no saben derivar, vayan a trabajar de changarines, no intenten resolver ejercicios matemáticos si no es lo suyo.

    • motion says:

      Gracias por tu respuesta.
      Insisto, y puedes leer el resto de comentarios y el otro post, en que no hay datos falsos ni inventados. Si crees que hay alguno, siéntete libre de indicar cuál.

      Hacer una derivada es fácil si recuerdas cómo se hace. En mi caso, lo olvidé hace años porque no las utilizo, pero eso no me impide ver un problema, tener curiosidad y querer tratar de resolverlo.

      Llámalo intuición, pensamiento lateral, suerte o como quieras, pero la fórmula del artículo o su versión simplificada indicada más arriba por Alm, resuelve el problema.

      Aquellos que han llegado al blog y están aportando valor en sus comentarios (no sé si son matemáticos, o si por el contrario tampoco tienen tu autorización para opinar sobre la materia), me están resultando útiles e interesantes.

      Con otros comentarios me estoy divirtiendo mucho.

      • Abraham Benyosef says:

        El problema son los diarios digitales que dieron por buena tu solución sin analizar su validez. Yo no la entendí, pero reconozco que me está haciendo pensar y eso siempre es bueno. Eso sí, no me parece que la estés “haciendo fácil”, y eso es quizá lo que irrita a algunos visitantes (al principio a mí también me exasperó un poco).

        • motion says:

          Muchas gracias por el capote. 🙂
          A mí también me está haciendo pensar mucho (demasiado). Anoche me costó muchísimo conciliar el sueño por culpa del puñetero cocodrilo… pero creo que ya he encontrado una explicación razonada.
          Este finde prometo sacar un rato para escribir el “Teorema del cocodrilo” 😉

        • motion says:

          Hecho!
          Creo que esta vez, sí que sí.
          Muchas gracias a tí por hacerme pensar!

  27. Roberto says:

    El post debería decir “made wrong” en lugar de “made easy”. El que propuso la respuesta haría bien en dedicarse a pelar papas con una cuchara (para no poner en peligro su integridad física ni la de quienes lo rodean).

    La respuesta está plagada de errores y razonamientos absurdos. Y, por supuesto, es incorrecta.

    • motion says:

      Gracias por tu aportación.

      Afortunadamente, que lo encuentres absurdo no significa que lo sea. Sólo que no lo entiendes. (Yo tampoco lo entendía exactamente hasta anoche)

      La respuesta (8), y es más, la formulación, es correcta.
      Este fin de semana prometo darle una explicación razonada.

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