Teorema del cocodrilo

Enunciado:

El ángulo más eficiente para cruzar un río, teniendo como referencia la velocidad en tierra (Vt) y velocidad en agua (Va), ambas movimientos lineales uniformes y con Vt>Va, será el mismo que aquel que une una hipotenusa de largo 1 con un cateto de largo (Va/Vt) en un triángulo rectángulo, independientemente del ancho del río.

[Ángulo óptimo = acos(Va/Vt)]

Demostración:

Captura de pantalla 2015-10-25 a la(s) 01.33.06

 

 

 

El triángulo superior tiene su ángulo Beta fijado, y define la relación entre la velocidad lineal en agua (c), cruzando el río, y la velocidad lineal en tierra (d), por la orilla.

El triángulo inferior define la proporción que se avanza transversalmente (b) y horizontalmente (a) mientras cruzamos el río, para un avance lineal (c) a través de él.

Mientras estamos avanzando por el río estamos perdiendo metros de avance comparado con la velocidad que llevaríamos en tierra. Esta relación está definida por a/d. Cuanto menor sea el ángulo alfa, más avanzaremos en el curso del río, pero menos proporción de c utilizaremos para cruzarlo, y cuanto mayor sea el ángulo, más proporción de c usaremos para cruzar, y menos para avanzar por su curso.

El ángulo alfa definirá cuál es el avance paralelo al borde del río, y cuál es el avance transversal, y con éste ángulo, la eficiencia de ‘a’ con respecto a ‘c’, y por tanto, a ‘d’.

Fijamos el lado b a 1 para facilitar los cálculos, ya que para cualquier ángulo alfa, que es el que buscamos, el ancho a recorrer en el río deberá ser el mismo.

A partir de ahí, tendremos que encontrar un ángulo alfa que haga que la cantidad de metros avanzados (a) tenga la menor pérdida con respecto a los que podríamos haber avanzado en el mismo tiempo siguiendo fuera del río (d).

De modo que la función que tenemos que optimizar es (d – a), que debe tener el menor valor posible en función de alfa.

Los valores y variables que tenemos son:

  • Va -> Velocidad lineal en el agua (parámetro)
  • Vt -> Velocidad lineal en tierra (parámetro)
  • r = Va / Vt    -> Valor fijo una vez calculado.
    • Es la relación de la velocidad Va con respecto a Vt.
  • Beta = arc cos (r)
    • Ángulo que describen las velocidades (o metros avanzados en una unidad de tiempo) Va y Vt cuando se colocan como hipotenusa (Vt) y cateto adyacente a este ángulo (Va) formando dos lados de un triángulo rectángulo.
  • a = c * cos(alfa)
    • Son los metros recorridos en agua en el sentido del movimiento en tierra por cada metro recorrido transversalmente en agua (b)
  • b = 1  -> Constante
    • Es el espacio recorrido en agua (1m) cuando nos desplazamos por el río. Debe ser constante para cualquier valor de alfa y lo fijamos en 1 metro. Como consecuencia, el resultado nos dará que, para avanzar un metro por el río hacia la otra orilla, avanzaremos “a” metros del curso. El ángulo alfa determinará cuánto hay de ‘c’ y cuánto de ‘a’.
  • c = b / sen(alfa) = 1 / sen(alfa)
    • Es el avance lineal real que recorreremos en el río por cada metro que nos adentremos hacia la otra orilla.
  • d = c / cos(beta)
    • Es el avance que habríamos tenido por la otra orilla, en tierra, mientras hemos avanzado ese metro (b) transversalmente en el río.

Necesitamos encontrar la función d – a para minimizarla.

d – a = c/cos(beta) – c*cos(alfa) = c/r – c*cos(alfa) = 1/(r*sen(alfa)) – cos(alfa)/sen(alfa)

Derivamos (sí, he tenido que aprender/refrescarlo, espero que bien):

20151025_015015

 

 

 

Y tenemos, que alfa es igual a beta para hacer cero la derivada, y palabrita que minimiza la pérdida de metros avanzados por tener que cruzar el río.

Como Beta ha sido fijada con el ángulo que forman las velocidades, tenemos que tanto alfa, como beta, son el ángulo que forman la hipotenusa (1) y el cateto (Va/Vt) de un triángulo rectángulo.

Corolarios:

  1. La eficiencia de avance por agua en un ángulo alfa, comparada con el avance Vt, vendrá determinada como: Ea = cos(alfa) * cos(beta) = cos(alfa) * r
  2. La máxima eficiencia será Em = cos(beta) * cos(beta), y será igual a (Va/Vt)^2 = r^2. Es decir, el móvil en agua, con respecto a tierra, avanzará r veces más despacio por la propia relación de Vt/Va, y r veces más despacio por la misma relación que existe entre el componente horizontal del avance en agua y el avance total en agua (a/c).
  3. Si existe una restricción de distancia horizontal (cebra), y el ángulo óptimo es inferior (lleva más allá de la restricción, que llamaríamos ‘no tienes río pa correr’), el ángulo a utilizar será aquel que lleve al móvil en línea recta a través del río directamente hacia el punto de destino.

 

Aplicación en el problema del cocodrilo y la cebra:

Dadas las velocidades Vt = 1m/0,4s = 2,5 m/s, y Va = 1m/0,5s = 2 m/s

El triángulo que utilizaremos será de hipotenusa 1 y cateto adyacente 0,8. (Vt/Va = 0,8 = 4/5)

X = 0,8 *  (36)^(1/2) / (1-0,8^2)^(1/2)  = 0,8 * 6 / 0,6 = 8 metros.

 

Nota:

…. yo estaba tomando una cocacola y un purito tan tranquilo debajo de casa y vi el problema del cocodrilo y la cebra en microsiervos. En su momento me pareció evidente la relación entre esos ángulos y subí a casa a comprobarlo. Estos días he descubierto dos cosas: Que ni era tan evidente, ni tan fácil de demostrar. Sobre todo lo segundo…

Gracias, especialmente a Alvy, por enlazarme, y traeros aquí a discutir conmigo, a Alm por echarme unos buenos capotes en los comentarios, y a Abraham por recordarme la importancia del ‘por qué’, y ‘obligarme’ a demostrarlo.

No sé si la demostración está bien (creo que sí), pero lo he pasado muy bien intentando hacerlo, aún cuando estaba a punto de abandonar.

Ahora ya sí que sí… me vuelvo con mi domótica. 🙂

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